Prosta kinematyka w dwóch wymiarach

Stwórz hierarchię klas, które umożliwią proste symulacje fizyczne w dwóch wymiarach

Potrzebne elementy składowe (klasy)

operacje matematyczne

napisz klasę Vec2 udostępniającą podstawowe operacje matematyczne w 2 wymiarach

reprezentacja obiektów

potrzebna będzie hierarchia obiektów, które będą symulowane; np klasa Circle oraz Polygon

system

klasa System powinna zawierać w sobie listę obiektów: ruchomych elementów sceny, obiekty nieruchome oraz zapewniać warunki brzegowe

solver

rozwiązuje równanie ruchu; tu akurat jest to klasa całkująca wg schematu Eulera

observer

odpowiada(ją) za wydruk wyników na ekran

0. Algebra w 2D

Napisz klasę Vec2, która będzie miała pola prywatne __x oraz __y, do których dostęp zapewnią settery i gettery zaimplementowane jako dekoratory @property oraz @x.setter. Zerknij na przykład dekoratorów w Pythonowe to i owo II.

Klasa powinna posiadać też operatory : += -=, metodę dp() liczącą iloczyn skalarny, metody length() i normalize() Napisz też funkcję point_on_segment_projection(), która znajduje najkrótszą odległość punktu do odcinka oraz miejsce przecięcia odcinka z linią prostopadłą, przechodzącą przez dany punkt.

t =

d =

Powyższa interaktywna grafika ilustruje oczekiwany wynik obliczeń. Parametr t wyznaczający rzut punktu p na odcinek pomiędzy b i e obliczamy ze wzoru:

\[t = \frac{(px - b.x)(ex - bx) + (py - by)(ey - by)}{| \vec{b} - \vec{e}|^2}`\]

1. Napisz klasy Atom oraz Polygon

Klasa Atom będzie reprezentowała koła - elementarne obiekty poruszające się na scenie, dziedzicząca po niej klasa Polygon - wielokąty (trójkąty, prostokąty, itp). Załóż, że każdy wielokąt jest łamaną zamkniętą, którą można przechowywać jako listę kolejnych wierzchołków.

2. Napisz klasę System

Na początku klasa System będzie zawierała tylko listę kół oraz wielokątów. Wg. jednej z możliwych implementacji, będą to dwie oddzielne listy: jedna przechowująca obiekty poruszające się, druga zaś nieruchome, w tym także pudełko zawierające symulację.

3. Napisz klasę Solver

Klasa Solver będzie elementem odpowiedzialnym za przeprowadzenie symulacji. Odpowiedzialna ona będzie za:

• aktualizację położeń wg wzoru \(\vec{x}_{i+1} = \vec{x}_{i} + dt \vec{v}_{i}\)

• rozwiązywanie zderzeń pomiędzy kołem a bokami wielokąta, przede wszystkim ze ściankami pudełka

• rozwiązywanie zderzeń pomiędzy kołami

Zderzeń pomiędzy kołem a bokiem wielokąta wymaga wyznaczenia odległości pomiędzy tymi obiektami a także punktu przecięcia t na odcinku, przez który przechodzi prosta prostopadła do odcinka. Wykorzystaj do obliczeń wzór podany powyżej. Zauważ, że koło zderza się z odcinkiem wtedy i tylko wtedy, kiedy \(0 \le t \le 1\). Oznaczając przez \(\vec{n}\) normalną do odcinka a przez \(\vec{v}\) vektor prędkości koła przed zderzeniem, nowy wektor prędkości \(\vec{v_n}\) obliczamy ze wzorów:

\[\begin{split}\begin{matrix} \vec{u} & = & \frac{\vec{v} \bullet \vec{n}}{\vec{n} \bullet \vec{n}} \vec{n}\\ \vec{w} & = & \vec{v} - \vec{u}\\ \vec{v_n} & = & \vec{w} - \vec{u}\\ \end{matrix}\end{split}\]

gdzie \(\bullet\) oznacza iloczyn skalarny, np. \(\vec{n} \bullet \vec{n}\) to po prostu kwadrat długości wektora \(\vec{n}\)

Zderzenia pomiędzy dwoma kołami rozpatrujemy wg poniższych wzorów:

\[\begin{split}\begin{matrix} \vec{v_1} & = & \vec{v_1} - \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} \frac{ (\vec{v_1} - \vec{v_2}) \bullet (\vec{x_1} - \vec{x_2}) }{ |\vec{x_1} - \vec{x_2}|^2} (\vec{x_1} - \vec{x_2})\\ \vec{v_2} & = & \vec{v_2} - \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \frac{ (\vec{v_2} - \vec{v_1}) \bullet (\vec{x_2} - \vec{x_1}) }{ |\vec{x_2} - \vec{x_1}|^2} (\vec{x_2} - \vec{x_1})\\ \end{matrix}\end{split}\]

(patrz strona na Wikipedii )

Przy implementacji powyższych wzorów można wprowadzić spore uproszczenie. Ostatecznie wyrażenia te można sprowadzić do:

\[\begin{split}\begin{matrix} f & = & \frac{2}{m_1 + m_2} \frac{ (\vec{v_1} - \vec{v_2}) \bullet (\vec{x_1} - \vec{x_2}) }{ |\vec{x_1} - \vec{x_2}|^2}\\ \vec{v_1} & = & \vec{v_1} - m_2 f (\vec{x_1} - \vec{x_2})\\ \vec{v_2} & = & \vec{v_2} + m_1 f (\vec{x_1} - \vec{x_2})\\ \end{matrix}\end{split}\]