Prosta kinematyka w dwóch wymiarach
----------------------------------------

Stwórz hierarchię klas, które umożliwią proste symulacje fizyczne w dwóch wymiarach


Potrzebne elementy składowe (klasy)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. glossary::

  **operacje matematyczne**
    napisz klasę ``Vec2`` udostępniającą podstawowe operacje matematyczne w 2 wymiarach

  **reprezentacja obiektów**
    potrzebna będzie hierarchia obiektów, które będą symulowane; np klasa ``Circle`` oraz ``Polygon``

  **system**

    klasa ``System`` powinna zawierać w sobie listę obiektów: ruchomych elementów sceny, obiekty nieruchome
    oraz zapewniać warunki brzegowe

  **solver**
    rozwiązuje równanie ruchu; tu akurat jest to klasa całkująca wg schematu Eulera

  **observer**
    odpowiada(ją) za wydruk wyników na ekran

0. Algebra w 2D
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Napisz klasę ``Vec2``, która będzie miała  pola prywatne ``__x`` oraz ``__y``, do których dostęp zapewnią settery i gettery
zaimplementowane jako dekoratory ``@property`` oraz ``@x.setter``. Zerknij na przykład dekoratorów w *Pythonowe to i owo II*.

Klasa powinna posiadać też operatory : ``+=`` ``-=``, metodę ``dp()`` liczącą iloczyn skalarny, metody ``length()`` i ``normalize()``
Napisz też funkcję ``point_on_segment_projection()``, która znajduje najkrótszą odległość
punktu do odcinka oraz miejsce przecięcia odcinka z linią prostopadłą, przechodzącą przez dany punkt.

.. raw:: html
   :file: punkt_prosta.html

Powyższa interaktywna grafika ilustruje oczekiwany wynik obliczeń. Parametr ``t`` wyznaczający rzut punktu ``p``
na odcinek pomiędzy ``b`` i ``e`` obliczamy ze wzoru:


.. math::
    t = \frac{(px - b.x)(ex - bx) + (py - by)(ey - by)}{| \vec{b} - \vec{e}|^2}`


1. Napisz klasy ``Atom`` oraz ``Polygon``
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Klasa ``Atom`` będzie reprezentowała koła - elementarne obiekty poruszające się na scenie,
dziedzicząca po niej klasa ``Polygon`` - wielokąty (trójkąty, prostokąty, itp).
Załóż, że każdy wielokąt jest łamaną zamkniętą, którą można przechowywać jako listę kolejnych wierzchołków.

2. Napisz klasę ``System``
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Na początku klasa ``System`` będzie zawierała tylko listę kół oraz wielokątów. Wg. jednej z możliwych implementacji,
będą to dwie oddzielne listy: jedna przechowująca obiekty poruszające się, druga zaś nieruchome, w tym także pudełko
zawierające symulację.

3. Napisz klasę ``Solver``
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Klasa ``Solver`` będzie elementem odpowiedzialnym za przeprowadzenie symulacji.
Odpowiedzialna ona będzie za:

  - aktualizację położeń wg wzoru :math:`\vec{x}_{i+1} = \vec{x}_{i} + dt \vec{v}_{i}`
  - rozwiązywanie zderzeń pomiędzy kołem a bokami wielokąta, przede wszystkim ze ściankami pudełka
  - rozwiązywanie zderzeń pomiędzy kołami

Zderzeń pomiędzy kołem a bokiem wielokąta wymaga wyznaczenia odległości  pomiędzy tymi obiektami a także
punktu przecięcia ``t`` na odcinku, przez który przechodzi prosta prostopadła do odcinka.
Wykorzystaj do obliczeń wzór podany powyżej. Zauważ, że koło zderza się z odcinkiem
wtedy i tylko wtedy, kiedy :math:`0 \le t \le 1`. Oznaczając przez :math:`\vec{n}` normalną do odcinka a przez
:math:`\vec{v}` vektor prędkości koła przed zderzeniem, nowy wektor prędkości :math:`\vec{v_n}` obliczamy ze wzorów:

.. math::

        \begin{matrix}
        \vec{u} & = & \frac{\vec{v} \bullet \vec{n}}{\vec{n} \bullet \vec{n}} \vec{n}\\
        \vec{w} & = & \vec{v} - \vec{u}\\
        \vec{v_n} & = & \vec{w} - \vec{u}\\
        \end{matrix}

gdzie :math:`\bullet` oznacza iloczyn skalarny, np. :math:`\vec{n} \bullet \vec{n}` to po prostu kwadrat długości wektora :math:`\vec{n}`

Zderzenia pomiędzy dwoma kołami rozpatrujemy wg poniższych wzorów:

.. math::
        \begin{matrix}
        \vec{v_1} & = & \vec{v_1} - \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} \frac{ (\vec{v_1} - \vec{v_2}) \bullet (\vec{x_1} - \vec{x_2}) }{ |\vec{x_1} - \vec{x_2}|^2} (\vec{x_1} - \vec{x_2})\\
        \vec{v_2} & = & \vec{v_2} - \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \frac{ (\vec{v_2} - \vec{v_1}) \bullet (\vec{x_2} - \vec{x_1}) }{ |\vec{x_2} - \vec{x_1}|^2} (\vec{x_2} - \vec{x_1})\\
        \end{matrix}

(patrz `strona na Wikipedii <https://en.wikipedia.org/wiki/Elastic_collision#Two-dimensional>`_ )

Przy implementacji powyższych wzorów można wprowadzić spore uproszczenie. Ostatecznie wyrażenia te można sprowadzić do:

.. math::
        \begin{matrix}
        f         & = & \frac{2}{m_1 + m_2} \frac{ (\vec{v_1} - \vec{v_2}) \bullet (\vec{x_1} - \vec{x_2}) }{ |\vec{x_1} - \vec{x_2}|^2}\\
        \vec{v_1} & = & \vec{v_1} - m_2 f (\vec{x_1} - \vec{x_2})\\
        \vec{v_2} & = & \vec{v_2} + m_1 f (\vec{x_1} - \vec{x_2})\\
        \end{matrix}